什么是曲率和曲率半径？

一、什么是曲率和曲率半径？

视频选自马同学图解数学

要了解曲率半径，当然先从曲率说起

1 自然语言

通俗的讲，曲率被定义为曲线的弯曲程度。比如下面这几条曲线，可以看到它们的弯曲程度是不一样的。最上面的最平，曲率最小，最下面的最弯，曲率最大。

上面用的是自然语言，那么用数学语言定义，曲率又该如何定义呢？假设用 代表曲率，也就是

2 圆的曲率

在定义一般曲线的曲率之前，我们首先定义的是圆的曲率。圆越小，曲率越大，圆越大，曲率越小。

这是符合观察的,可以看到，随着圆越大，曲线越来越平，曲率越小，圆越小，曲线越弯，曲率越大

也就是说，对于圆而言，曲率与半径成反比,此时

根据这个公式,我们可以很容易的计算出,半径为1的圆，曲率为1/1,半径为2的圆，曲率为1/2,半径为3的圆，曲率为1/3。

现在，我们手上有了圆的曲率定义公式,下面，我们要根据它，定义出一般曲线的曲率。

3 一般曲线的曲率

3.1 曲率圆

可以看到，对于一般曲线而言，各个位置上的弯曲程度是不一样的。有些位置比较弯，有些位置比较平。

那么，我们要计算某一处的曲率，就在它的左右各取一个点。并用这三点确定一个圆。

然后将左右两个点不断向中间靠拢，最终得到的圆，称为曲率圆(又称密切圆)。曲率圆就是对这个点附近的曲线的最佳圆近似。

可以观察到，在曲线较为平坦的地方，曲率圆半径较大,较为弯曲的地方，曲率圆半径较小。

这个事实告诉我们，可以用曲率圆的曲率来定义曲线的曲率

现在只要计算出曲率圆的半径，就能计算出曲线的曲率。下面开始计算

3.2 计算

首先假设中间的点为 ，左右两个点分别为 和 ,由它们确定的圆的半径用 来表示

这个 可以由外接圆半径公式得到

其中 为三个点构成的三角形的三条边的边长, 为这个三角形的面积

下面将三条边分别用向量 来表示

那么三条边的边长，就是这三个向量取模长。

根据行列式的几何意义可知，由 与向量 所构成的平行四边形的有向面积，可以用行列式 表示

那么取绝对值后，得到的是平行四边形的面积，三角形的面积就是这个平行四边形面积的一半。

因此

设曲线函数为 ，那么三个点的坐标分别为

那么三个向量分别为

将此带入上式，就能得到(更相信的计算过程，请在微信公众号《马同学图解数学》中，回复“曲率”查看)

下面让左右两边的点向中间靠,设 时，得到的曲率圆半径为

则曲率半径为 的极限

它的倒数，就是曲率

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二、用曲率半径公式求椭圆曲率半径？

主要是椭圆长轴上两端点的曲率半径如何用椭圆半长轴a和半短轴b表示

ab/[(a^2*sint^2+b^2*cost^2)^(3/2)]

x=acost

y=bsint

kmax=a/b^2

kmin=b/a^2

三、电线曲率半径？

假如电缆的外径为10mm，则这个电缆允许弯曲半径为15*10=150mm。就是说电缆弯曲时（转弯处）是一个弧形弯，这个弧形弯可以根据弧上任意两点的切线的垂线的交点，就是该弧线的半径，这个半径要大于等于150mm。

   电缆的弯曲半径可以从两方面解释，一个是电缆本身弯曲半径，第二个是电缆在施工敷设时的弯曲半径，下面就来介绍下电缆的最小弯曲半径计算，电缆弯曲半径标准大全。

四、曲率半径符号？

曲率半径bai，符号以Rho:ρ表示，是du曲率的倒数，单位为米

五、曲率半径换算？

在微分几何中，曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K。

平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。对于曲线，它等于最接近该点处曲线的圆弧的半径。 对于表面，曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。

应用：

对于差分几何上的应用，请参阅Cesàro方程；对于地球的曲率半径（由椭圆椭圆近似），请参见地球的曲率半径；曲率半径也用于梁的弯曲三部分方程中；曲率半径（光学）。

扩展资料：

曲率半径的作用：

曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度，特殊的如：圆上各个地方的弯曲程度都是一样的故曲率半径就是该圆的半径；直线不弯曲 ，和直线在该点相切的圆的半径可以任意大，所以曲率是0，故直线没有曲率半径。

圆形半径越大，弯曲程度就越小，也就越近似于一条直线。所以说，曲率半径越大曲率越小，反之亦然。

如果对于某条曲线上的某个点可以找到一个与其曲率相等的圆形，那么曲线上这个点的曲率半径就是该圆形的半径（注意，是这个点的曲率半径，其他点有其他的曲率半径)。

六、曲率半径公式？

曲率半径的公式为κ=lim|Δα/Δs|。；ρ=|[(1+y'^2)^(3/2)]/y"|，

证明如下：；

1、曲线上某点的曲率半径是该点的密切圆（Osculating circle）的半径。密切圆可能是与曲线在该点相内切的圆中半径最大的（比如在椭圆长轴顶点处），也可能是与曲线在该点相外切的圆中半径最小的（比如在椭圆短轴顶点处），也可能两者都不是

七、曲线内径与曲率半径？

用圆去逼近曲线，就是曲率圆，曲率参数都是这个圆的参数。

一般不用内径这个词，孔的内径，没听说过曲线的内径。

八、什么是曲率半径?椭圆的曲率半径怎么算？

在微分几何中，曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K。平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。

对于曲线，它等于最接近该点处曲线的圆弧的半径。

对于表面，曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。

九、曲率半径参数形式怎么求？

十、隧道曲率半径计算？

：1、用勾股定理求半径,2、用三角函数求一半的圆心角,再求圆心角,3、求S扇形与SΔ,4、求S弓形(S扇形±SΔ)。